Mathematische Algorithmen mit Python

Tauchen Sie in die Welt der Algorithmen ein und erforschen Sie die Verbindung zwischen Programmierung und Mathematik. Dr. Veit Steinkamp löst mit Ihnen Aufgaben aus verschiedenen Bereichen und zeigt, wie Rechnungen in Code umgesetzt werden. Sie lernen die grundlegenden Programm- und Datenstrukturen Pythons kennen und erfahren, welche Module Ihnen viel Arbeit abnehmen können. Rasch programmieren Sie Algorithmen zum Lösen von Gleichungssystemen nach, automatisieren Kurvendiskussionen und berechnen Integrale. Abstrakte Zusammenhänge werden so deutlich, und ganz nebenbei verbessern Sie Ihre Python-Fähigkeiten und programmieren geschickter und gekonnter.

Von der Numerik bis zur fraktalen Geometrie

Materialien zum Buch ... 13 1. Einführung ... 15 1.1 ... Entwicklungsumgebungen ... 20 1.2 ... Die Installation der Module ... 23 1.3 ... Schlüsselwörter von Python ... 26 1.4 ... Maschinengenauigkeit, Rundungsfehler und Stellenauslöschung ... 28 1.5 ... Algorithmenbegriffe ... 32 2. Datentypen und Datenstrukturen ... 35 2.1 ... Tupel ... 36 2.2 ... Sets ... 43 2.3 ... Listen ... 47 2.4 ... Dictionary ... 52 2.5 ... Zusammenfassung ... 57 2.6 ... Aufgaben ... 58 3. Programmstrukturen ... 59 3.1 ... Mathematische Operatoren ... 60 3.2 ... Die lineare Programmstruktur ... 61 3.3 ... Verzweigungsstrukturen ... 64 3.4 ... Wiederholstrukturen ... 68 3.5 ... Unterprogrammtechnik mit Funktionen ... 79 3.6 ... Laufzeitkomplexität ... 86 3.7 ... Aufgaben ... 89 4. Die Python-Erweiterungsmodule NumPy, Matplotlib, SymPy und SciPy ... 91 4.1 ... NumPy ... 92 4.2 ... Matplotlib ... 100 4.3 ... SymPy ... 107 4.4 ... SciPy ... 110 4.5 ... Aufgaben ... 114 5. Zahlen ... 117 5.1 ... Natürliche Zahlen ... 121 5.2 ... Rationale Zahlen ... 152 5.3 ... Irrationale Zahlen ... 155 5.4 ... Transzendente Zahlen ... 160 5.5 ... Aufgaben ... 170 6. Gleichungssysteme ... 171 6.1 ... Lineare Gleichungssysteme ... 171 6.2 ... Iterative Verfahren ... 201 6.3 ... Nichtlineare Gleichungssysteme ... 213 6.4 ... Aufgaben ... 216 7. Folgen ... 219 7.1 ... Divergente Folgen ... 219 7.2 ... Differenzfolgen ... 223 7.3 ... Konvergente Folgen ... 225 7.4 ... Rekursive Folgen ... 229 7.5 ... Geometrische Folgen ... 230 7.6 ... Der Grenzwert von Folgen ... 234 7.7 ... Aufgaben ... 238 8. Stetige Funktionen ... 239 8.1 ... 2D-Funktionsplots ... 240 8.2 ... 3D-Funktionsplots ... 249 8.3 ... Animationen ... 255 8.4 ... Aufgaben ... 262 9. Differenzialrechnung ... 263 9.1 ... Der Differenzenquotient ... 265 9.2 ... Optimale Schrittweite ... 269 9.3 ... Simulation des Grenzwertprozesses ... 271 9.4 ... Tangenten- und Normalengleichung ... 274 9.5 ... Höhere Ableitungen ... 280 9.6 ... Berechnung von Nullstellen mit dem Newton-Verfahren ... 282 9.7 ... Kurvendiskussion ... 288 9.8 ... Aufgaben ... 30610. Reihen ... 307 10.1 ... Divergierende Reihen ... 308 10.2 ... Konvergente Reihen ... 313 10.3 ... Geometrische Reihen ... 322 10.4 ... Potenzreihen und die Taylor-Entwicklung ... 327 10.5 ... Aufgaben ... 33611. Integralrechnung ... 337 11.1 ... Die Stammfunktion ... 337 11.2 ... Flächenberechnung ... 341 11.3 ... Verfahren der numerischen Integration ... 344 11.4 ... Bogenlängen ... 360 11.5 ... Rotationskörper ... 364 11.6 ... Zweifachintegrale ... 370 11.7 ... Aufgaben ... 37712. Differenzialgleichungen ... 379 12.1 ... Das eulersche Polygonzug-Verfahren ... 380 12.2 ... Richtungsfelder ... 385 12.3 ... Differenzialgleichungen 1. Ordnung ... 387 12.4 ... Nichtlineare Differenzialgleichungen 2. Ordnung ... 394 12.5 ... DGL-System für ein gekoppeltes Fadenpendel ... 399 12.6 ... DGL-System mit zwei Unbekannten ... 402 12.7 ... DGL-System mit drei Unbekannten ... 404 12.8 ... Optimierungen des Euler-Verfahrens ... 407 12.9 ... Lösung von Differenzialgleichungen mit SymPy ... 410 12.10 ... Aufgaben ... 41413. Ausgleichsrechnungen ... 415 13.1 ... Lineare Ausgleichsprobleme ... 415 13.2 ... Nichtlineare Ausgleichsprobleme ... 434 13.3 ... Aufgaben ... 43914. Algorithmen für die Berechnung statistischer Kennzahlen ... 441 14.1 ... Normalverteilte Zufallszahlen erzeugen ... 442 14.2 ... Lageparameter ... 446 14.3 ... Streuparameter ... 456 14.4 ... Strukturparameter ... 460 14.5 ... Aufgaben ... 46515. Fraktale ... 467 15.1 ... Turtle-Grafik ... 468 15.2 ... Die kochsche Schneeflocke ... 471 15.3 ... Das Sierpinski-Dreieck ... 476 15.4 ... Der Pythagoras-Baum ... 480 15.5 ... Mandelbrot- und Julia-Mengen ... 484 15.6 ... Aufgaben ... 496 Anhang ... 497 A.1 ... Wichtige mathematische Begriffe und Sätze ... 497 A.2 ... Matplotlib-Eigenschaften ... 500 A.3 ... Literaturverzeichnis ... 502 Index ... 504