Randelementmethoden

In diesem ersten Lehrbuch über Randelementmethoden werden schnelle numerische Lösungsverfahren entwickelt und analysiert. Darüber hinaus wird auch die effiziente Implementierung thematisiert, wobei besonderer Wert auf eine mathematisch-saubere Herleitung und Analyse der Integralgleichungen gelegt wird. Im Vordergrund steht die Galerkin-Diskretisierung der Integralgleichungen mit Randelementen, die für die meisten Anwendungen die geeignetste Diskretisierungsmethode ist. Eine Zielsetzung der Darstellung ist es, für alle Teilschritte der Methode (Berechnung der Matrixkoeffizienten, schwachbesetzte Darstellung des nicht-lokalen Operators, Lösung der linearen Gleichungssysteme) effiziente Algorithmen anzugeben und zu analysieren. Das Buch bietet verschiedene Varianten zur Konzeption einer Vorlesung und eignet sich auch für ein Selbststudium.

In diesem Lehrbuch über Randelementmethoden werden schnelle numerische Lösungsverfahren entwickelt und analysiert. Darüber hinaus wird die effiziente Implementierung thematisiert, wobei besonderer Wert auf eine mathematisch saubere Herleitung und Analyse der Integralgleichungen gelegt wird. Im Vordergrund steht die Galerkin-Diskretisierung der Integralgleichungen mit Randelementen, die für die meisten Anwendungen die geeignetste Diskretisierungsmethode ist. Das Buch bietet verschiedene Varianten zur Konzeption einer Vorlesung und eignet sich auch für ein Selbststudium.

1 Einführung.- 1.1 Das Konzept der Randelementmethode.- 1.2 Numerik von Randintegralgleichungen.- 2 Elliptische Differentialgleichungen.- 2.1 Funktionalanalytische Grundlagen.- 2.2 Geometrische Grundlagen.- 2.3 Sobolev-Räume auf Gebieten ?.- 2.4 Sobolev-Räume auf Oberflächen ?.- 2.5 Einbettungssätze.- 2.6 Spur-Operatoren.- 2.7 Greensche Formeln und Normalenableitungen.- 2.8 Der Lösungsoperator.- 2.9 Elliptische Randwertprobleme.- 2.10 Existenz und Eindeutigkeit.- 3 Elliptische Randintegralgleichungen.- 3.1 Randintegraloperatoren.- 3.2 Regularität der Lösungen der Randintegralgleichungen.- 3.3 Sprungrelationen und Darstellungsformeln.- 3.4 Integralgleichungen für elliptische Randwertprobleme.- 3.5 Eindeutige Lösbarkeit der Randintegralgleichungen.- 3.6 Calderón-Projektor.- 3.7 Poincaré-Steklov-Operator.- 3.8 Invertierbarkeit von Randintegraloperatoren 2. Art.- 3.9 Randintegralgleichungen zur Helmholtz-Gleichung.- 4 Randelementmethoden.- 4.1 Randelemente für die Potentialgleichung in ?3.- 4.2 Konvergenz abstrakter Galerkin-Verfahren.- 4.3 Beweis der Approximationseigenschaft.- 4.4 Inverse Abschätzungen.- 4.5 Kondition der Systemmatrizen.- 5 Berechnung der Matrixkoeffizienten.- 5.1 Kernfunktionen und stark singuläre Integrale.- 5.2 Relativkoordinaten.- 5.3 Numerische Integration.- 6 Lösung der linearen Gleichungssysteme.- 6.1 cg-Verfahren.- 6.2 Abstiegsverfahren für nichtsymmetrische Systeme.- 6.3 Iterative Löser für Gleichungen negativer Ordnung.- 6.4 Iterative Löser für Gleichungen positiver Ordnung.- 6.5 Mehrgitterverfahren für Gleichungen negativer Ordnung.- 7 Panel-Clustering.- 7.1 Der Panel-Clustering-Algorithmus.- 7.2 Realisierung der Teilalgorithmen.- 7.3 Fehleranalyse für das Panel-Clustering-Verfahren.- 7.4 Der Aufwand derPanel-Clustering-Methode.- 7.5 Panel-Clustering für Kollokationsverfahren.- Liste der Symbole.