Numerik partieller Differentialgleichungen

"Die Numerik partieller Differentialgleichungen wird hier in relativ weitem Umfang vorgeführt: es beginnt bei der Diskretisierung der ursprünglichen Gleichungen, es werden Fragen der Konsistenz und Stabilität behandelt, und auch Fragen der zweckmäßigen Lösung der entstehenden Gleichungen werden nicht wie sonst in vergleichbaren Büchern verschiedentlich, zur Seite geschoben."Monatshefte für Mathematik. H.Muthsam, Wien

1 Randwertaufgaben für gewöhnliche Differentialgleichungen zweiter Ordnung.- 1.1 Problemstellung.- 1.2 Grundlegende Aussagen.- 1.3 Das klassische Differenzenverfahren.- 1.4 Zugänge zu Differenzenverfahren.- 1.5 Kollokationsverfahren.- 2 Elliptische Randwertaufgaben zweiter Ordnung: Klassische Lösungen und Differenzenverfahren.- 2.1 Grundlegende Aussagen.- 2.2 Differenzenverfahren für die Poisson-Gleichung.- 2.3 Allgemeine Differentialoperatoren.- 2.4 Weitere Zugänge zu Differenzenverfahren.- 3 Schwache Lösungen, elliptische Differentialgleichungen und Sobolev-Räume.- 3.1 Einführung.- 3.2 Angepaßte Funktionenräume.- 3.3 Variationsgleichungen und konforme Approximation.- 3.4 Stabile Variationsgleichungen.- 3.5 Nichtlineare Probleme.- 4 Methode der finiten Elemente.- 4.1 Ein Beispiel.- 4.2 Finite-Elemente-Räume.- 4.3 Bézier-Bernstein-Polynome.- 4.4 Realisierung der Finite-Elemte-Methode.- 4.5 Konvergenz konformer Methoden.- 4.6 Nichtkonforme Finite-Elemente-Methoden.- 4.7 Gemischte finite Elemente.- 4.8 Fehlerschätzer und Gittersteuerung.- 4.9 Hinweise zu weiteren interessanten Entwicklungen.- 5 Numerische Verfahren für die diskretisierten Probleme.- 5.1 Besonderheiten der Aufgabenstellung.- 5.2 Direkte Verfahren.- 5.3 Iterationsverfahren.- 5.4 Relaxations- und Splittingverfahren.- 5.5 CG - Verfahren.- 5.6 Mehrgitterverfahren.- 6 Die numerische Behandlung parabolischer Probleme.- 6.1 Analysis parabolischer Probleme.- 6.2 Differenzenverfahren.- 6.3 Die (vertikale) Linienmethode.- 6.4 Rothe-Methode.- 6.5 Fehlerkontrolle.- 7 Singuläre Störungen und hyperbolische Probleme.- 7.1 Singuläre Störungen.- 7.2 Erhaltungsgleichungen.- 8 Numerische Methoden für Variationsungleichungen.- 8.1 Aufgabenstellung.- 8.2 Diskretisierung von Variationsungleichungen.- 8.3Penalty-Methoden.- 8.4 Wahl der Parameter.- 9 Randintegralmethoden und Randelemente: ein kurzer Abriß.- 9.1 Beispiele von Randintegralgleichungen.- 9.2 Variationsformulierung.- 9.3 Die Randelementmethode.- 9.4 Dualität und das Trefftz-Verfahren.